数学的花园里还隐藏着了许多隐秘，本年阿贝尔奖得主的作业标明，随机游走或许会是提醒其间一些隐秘的很好的战略。
撰文｜原原
来历：原理
1
3月18日，希勒尔·弗斯滕伯格（Hillel Furstenberg）和格雷戈里·马古利斯（Gregory Margulis）荣获了2020年度阿贝尔奖——数学界的最高荣誉之一，以赞誉他们在群论、数论和组合数学中创始性地运用概率与动力学办法。
他们使用随机游走技能（random walk techniques）来研讨线性群的结构，经过取随机挑选的矩阵的乘积，来描绘成果会怎么增加，以及这种增加对群的结构意味着什么。他们二人弥合了不同数学范畴间的差异，处理了那些看似遥不行及的问题。
弗斯滕贝格（左）和马古利斯（右）都曾因犹太人身份而遭受不公待遇。弗斯滕贝格1935年出生在柏林，4岁时和家人躲避纳粹而久居纽约；后来他移居以色列，在耶路撒冷希伯来大学任教，直到2003年退休。1946年，马古利斯生于莫斯科，是反犹太主义体系下的受害者，犹太人的身份使他无法在1978年出国去收取菲尔兹奖；后来他移民美国，现在仍然在耶鲁大学从事数学研讨。| 图片来自：Yosef Adest / Dan Renzetti
2
假如你在花园里藏了些点心让你的狗去找，它一定会马上用它活络的鼻子打开查找。它的嗅探轨道看起来是适当随机的，明显，这只狗不喜欢体系化的查找办法。但不管怎么，过了一小段时刻，它找到了“战利品”。狗的本能使它天生就懂得怎么以随机的办法不断改变方历来进行查找。
在数学中，狗的这种查找行为就可被总结归类在随机游走的概念中。随机游走是概率论的一个中心分支，它描绘的是在数学空间中由一系列随机过程构成的途径。
在咱们的日子中，有许多物理体系都是由这种随机游走描绘的，比方气体分子的行为、股票市场的涨落、遗传漂变的计算特性以及大脑中神经元的放电等等。但随机游走也可被看作是一种用来探究数学方针的东西，就像狗企图了解花园相同。
只不过，弗斯滕伯格和马古利斯的随机游走不是用来寻觅埋藏在花园里的奖品，而是随机游走在图或群上，他们企图用随机游走来提醒这些数学方针的隐秘。
3
以挪威数学家索菲斯·李（Sophus Lie）命名的李群，便是一类颇受欢迎的数学方针。李群是描绘几许方针的对称性（如三维空间中的旋转对称）的数学方针。李的创意来自于阿贝尔（Abel）和伽罗瓦（Galois）前期关于代数方程的解的研讨。不管是阿贝尔对五次方程的不行解性的证明，仍是伽罗瓦将多项式方程的解与域扩张的某些自同构群相联系在一起，都是经过扩展视界来了解细节的绝妙比如。李的主意是引进一品种似的办法来研讨微分方程的对称性。从那时起，了解这些群的结构来求解根本的微分方程，便成了数学家的一项重要任务。
弗斯滕伯格和马古利斯经过提出概念和证明定理，为咱们了解李群做出了巨大奉献。一般来说，李群是无限的，也对错紧的，例如，不管咱们怎么考虑群，它都具有一些无界性。随机游走技能很合适捕捉无界的实质。
假如狗的查找轨道是遍历的，那么它毕竟能挨近方针物。事实上，假如咱们在方针物周围画一个小圈，这个圈能够有恣意半径，那么在一段时刻后，它将能嗅闻到圆圈的规模里，并或许找到方针。这是一个递归的比如。动态体系的递归能追溯到19世纪末亨利·庞加莱（Henri Poincarè）的作业。他证明，在某些条件下，一个动态体系（也便是一个随时刻开展的体系）将回归到，或许至少简直回归到盘绕空间中的恣意一点。使用随机游走技能，咱们能将群的巨细和递归问题联系起来。假如群“太大”，在随机游走的过程中递归或许不会发作，反之亦然。
4
弗斯滕伯格和马古利斯的数学奉献包括许多根据遍历理论、递归、李群和随机游走所提出的概念。弗斯滕伯格引进了弗斯滕伯格鸿沟和不相交性，马古利斯提出了超刚性的概念和正规子群定理。马古利斯还证明晰奥本海姆猜测，关于三元二次方程的积分殆解，而弗斯滕伯格使用遍历理论证明晰安德烈·塞迈雷迪（Endre Szemerédi）关于恣意长度的算术级数的存在的定理。正如阿贝尔奖委员会颁奖词所说，最终两个比如很好地说明晰两位获奖者是怎么证明晰概率办法的普遍性，以及跨过不同数学范畴的边界的含义。
在数学的花园里还隐藏着了许多隐秘，本年阿贝尔奖得主的作业标明，随机游走或许会是提醒其间一些隐秘的很好的战略。
图灵奖/
在同一天，ACM发布了有“计算机界诺贝尔奖”之称图灵奖获奖者，他们分别是Edwin Catmull和Patrick Hanrahan，以赞誉他们对3D计算机图形学的奠定性奉献，以及这些技能对计算机成像在电影制造和其他方面使用的革命性影响。他们的作业从根本上影响了计算机图形学范畴，并对电影制造产生了革命性的影响。
Deborah Coleman / Pixar; Andrew Brodhead / Stanford University
参考资料
[1] https://www.abelprize.no
[2] https://amturing.acm.org
本文经授权转载自微信大众号“原理”。
